докажите что для всех натуральных n справедливо тождество 1*1! + 2*2! + ... + n*n! = (n+1) ! - 1. Здесь К! = 1*2 * ... * К

для n=2:1*1!+2*2! = (2+1) !-1=5 верно

для n=3:1*1!+2*2!+3*3! = (3+1) !-1=23 верно

пксть верно для n:1*1! + 2*2! + ... + n*n! = (n+1) ! - 1

докажем для n+1: 1*1! + 2*2! + ... + n*n! + (n+1) * (n+1) ! = (n+2) ! - 1

так как 1*1! + 2*2! + ... + n*n! + (n+1) * (n+1) ! = (n+1) ! - 1 + (n+1) * (n+1) !

и

(n+1) ! - 1 + (n+1) * (n+1) ! = (n+1) ! * ((n+1) + 1) - 1 = (n+1) ! * (n+2) - 1 = (n+2) ! - 1

т. е. 1*1! + 2*2! + ... + n*n! + (n+1) * (n+1) ! = (n+2) ! - 1

Таким образом методом математической индукции доказали тождество.