В ряд выписаны натуральные числа от 1 до некоторого n

n Когда одно из чисел удалили, оказалось, что среднее арифметическое оставшихся равно 40+3/4

Найдите число, которое удалили.

Пусть удалили число m, тогда осталось (n - 1) число, сумма оставшихся чисел 1 + 2 + ... + (m - 1) + (m + 1) + ... + n = n (n + 1) / 2 - m.

Эта сумма по условию равна 40 3/4 * (n - 1).

Так как в знаменателе у среднего арифметического 4, значит, (n - 1) делится на 4, чтобы сумма была целой. Пусть n - 1 = 4k, составляем уравнение:

(4k + 1) * (4k + 2) / 2 - m = 40 3/4 * 4k

(2k + 1) * (4k + 1) - m = 163k

m = 8k^2 - 157k + 1

Нужно, чтобы было выполнено неравенство 1 < = m < = n + 1 = 4k + 2. Посчитаем, при каких k это будет так.

Первое неравенство:

8k^2 - 157k + 1 > = 1

8k^2 - 157k > = 0

8k - 157 > = 0

k > = 157/8

k > = 20

Второе неравенство:

8k^2 - 157k + 1 < = 4k + 2

8k^2 - 161k - 1 < = 0

Решать такое неравенство не хочется, так что заметим, что оно выполнено для всех k от 1 до некоторого k0, и k0 найдём подбором.

k = 20: 8 * 400 - 161 * 20 - 1 = - 21 < = 20

k = 21: 8 * 441 - 161 * 21 - 1 = 146 > 0

Второе неравенство выполнено при k < = 20.

Итак, 20 < = k < = 20, т. е. k = 20.

Тогда m = 8k^2 - 157k + 1 = 61.

Ответ: 61.