Существует ли число, которое делится на 2^2015, и в десятичной записи которого нет ни одного нуля?

Никто не пишет, отвечу сам, чтобы задачу не удалили.

Да, существует. Проведем доказательство по индукции.

Для n = 1 берем число 2, которое делится на 2^1.

Добавляем 1 слева и получаем 12, которое делится на 2^2.

Значит, для n = 1 и n = 2 правило работает. Докажем его для любого n.

Пусть у нас есть n-значное число f (n) = A*2^n, которое делится на 2^n.

Припишем к нему слева цифру k, получаем

f (n+1) = k*10^n + A*2^n = k*2^n*5^n + A*2^n = 2^n * (k*5^n + A)

Если число А было нечетное, то и k нужно брать нечетное.

Если число А было четное, то и k нужно брать четное.

В обоих случаях (k*5^n + A) будет четным, и f (n+1) делится на 2^ (n+1).

Таким образом, можно получить любое число f (n), которое состоит из n знаков и делится на 2^n. В том числе и на 2^2015.