При каких значениях параметра a имеет решение уравнение sin^6 (x) + cos^6 (x) - 4a*sin (x) cos (x) cos (2x) = 0?

Sin^6 x + cos^6 x разложим, как сумму кубов.

sin^6 x + cos^6 x = (sin^2 x + cos^2 x) (sin^4 x - sin^2 x*cos^2 x + cos^4 x) =

= sin^4 x - sin^2 x*cos^2 x + cos^4 x =

= sin^4 x - 2sin^2 x*cos^2 x + cos^4 x + sin^2 x*cos^2 x =

= (cos^2 x - sin^2 x) ^2 + 1/4*4sin^2 x*cos^2 x = cos^2 (2x) + 1/4*sin^2 (2x)

Произведение тоже разложим:

4a*sin x*cos x*cos (2x) = 2a*2sin x*cos x*cos (2x) = 2a*sin (2x) * cos (2x)

Получаем уравнение:

1/4*sin^2 (2x) - 2a*sin (2x) * cos (2x) + cos^2 (2x) = 0

Умножаем всё на 4 и делим на cos^2 (2x)

tg^2 (2x) - 8a*tg (2x) + 4 = 0

D/4 = (-4a) ^2 - 1*4 = 16a^2 - 4

Если оно имеет решение, то D/4 > = 0

16a^2 - 4 = 4 (4a^2 - 1) = 4 (2a + 1) (2a - 1) > = 0

a ∈ (-oo; - 1/2] U [1/2; + oo)