При каких значениях параметра a вершины парабол y = 4ax - x^2-a и y = 2ax + x^2-2

расположены по разные стороны от оси абсцисс?

Y1 = - x^2 + 4ax - a - ветви направлены вниз

y2 = x^2 + 2ax - 2 - ветви направлены вверх.

Вершина параболы находится в точке x0 = - b / (2a)

1) x0 = - 4a / (-2) = 2a; y0 = - (2a) ^2 + 4a*2a - a = - 4a^2+8a^2-a = 4a^2-a

2) x0 = - 2a/2 = - a; y0 = (-a) ^2 + 2a (-a) - 2 = a^2 - 2a^2 - 2 = - a^2 - 2

Во 2 случае вершина y0 = - a^2 - 2 < 0 при любом x. Вершина ниже оси Ох.

Если вершины должны быть по разные стороны оси абсцисс, то

в 1 случае вершина должна быть выше оси Ох, то есть

y0 = 4a^2 - a > 0

a (4a - 1) > 0

По методу интервалов

a ∈ (-oo; 0) U (1/4; + oo)