Для упаковки сыпучих продуктов изготавливают картонные коробки вместимостью 1 л, длина основания которых в 1,5 раза больше ширины. Каковы должны быть размеры коробки, чтобы на изготовление ушло наименьшее количество материала?

Минимальная площадь поверхности при постоянном объеме будет у коробки кубической формы.

Действительно: площадь поверхности куба S = 6a²

объем куба со стороной а: V = а*а*а = а³

Если мы уменьшим длину одной стороны: b = 0,5a, то для сохранения объема нужно во столько же раз увеличить длину любой другой

стороны: h = 2a

Тогда: V₁ = a*0,5a*2a = a³

S₁ = 2 (ab+bh+ah) = 2 (0,5a²+a²+2a²) = 2*3,5a² = 7a²

По условию, a = 1,5b и V = 1 л = 1 дм³

Раз мы не можем добиться кубической формы коробки, логично будет предположить, что из всех оставшихся наименьшую площадь поверхности при заданном объеме будет иметь коробка с высотой, равной ширине.

Проверим:

V = 1,5b*b*b = 1,5b³ = > b = ∛ (1/1,5) ≈ 0,8735 (дм)

S = 2 (ab+bh+ah) = 2 (1,5b²+b²+1,5b²) = 8b² ≈ 6,104 (дм²)

Если мы уменьшим высоту по сравнению с шириной в 1,5 раза:

V = 1,5b*b*b/1,5 = b³ = > b = 1 (дм)

S = 2 (ab+bh+ah) = 2 (1,5b²+2b²/3+b²) = 5b²+4b²/3 =

= 6 1/3 b² ≈ 6,33 (дм²)

Таким образом, минимальное количество материала на изготовление коробки, емкостью 1 л, уйдет на коробку с размерами:

ширина b = 87,35 мм

длина а = 1,5*87,35 ≈ 131 мм

высота h = 87,35 мм

Ответ: 131 мм; 87,35 мм; 87,35 мм

PS Если взять высоту, равную длине, то:

V = 1,5b*1,5b*b = 2,25b³ = > b = ∛1/2,25 ≈ 0,7631 (дм)

S = 2 (ab+ah+bh) = 2 (2,25b²+1,5b²+1,5b²) = 10,5b² =

= 10,5*0,582 = 6,114 (дм³)