На доске выписаны числа 1,2,3, ...,10. За ход пару чисел (a, b) заменяют на число 3ab+a+b. Каким может быть последнее оставшееся число?

Пусть на доске в какой-то момент написаны числа a₁, a₂, ..., aₓ (всего x чисел).

Будем следить за значением произведения (1 + 3a₁) (1 + 3a₂) ... (1 + 3aₓ). Заметим, что значение этого произведения при указанной операции не меняется: скобки, не содержащие a и b, останутся на месте, а (1 + 3a) (1 + 3b) = 1 + 3a + 3b + 9ab заменится на 1 + 3 (a + b + 3ab).

Исходно это произведение равно

(1 + 3) (1 + 6) (1 + 9) ... (1 + 30) = 528 271 744 000,

а когда осталось единственное число x, оно равно

1 + 3x.

Поскольку произведение не изменилось, то

1 + 3x = 528 271 744 000

3x = 528 271 743 999

x = 176 090 581 333

Ответ. 176 090 581 333.