При каких значениях А сумма кубов корней уравнения 3x^2+3 (A+1) x+A^2=0 будет максимальной?

По теореме Виета,

x1+x2=-3 (A+1) / 3 = - (A+1),

x1*x2=A^2 / 3

Выразим сумму кубов через сумму и произведение корней:

x1^3+x2^3 = (x1+x2) (x1^2-x1*x2+x2^2) =

(x1+x2) (x1^2+2x1*x2+x2^2-3x1*x2) =

(x1+x2) ((x1+x2) ^2-3x1*x2) =

- (A+1) (( - (A+1)) ^2-3 * (A^2 / 3)) =

- (A+1) (A^2+2A+1-A^2) =

- (A+1) (2A+1) = - 2A^2-3A-1

Сумма кубов - функция от параметра A: f (A) = - 2A^2-3A-1

Найдем точку максимума функции:

f' (A) = - 4A-3

При f' (A) = 0: - 4A-3 = 0 = > A = - 3/4.

f' (A) > 0 при A < - 3/4

f' (A) - 3/4

Это значит, что A=-3/4 - точка максимума функции, а значит, при A=-3/4 сумма кубов принимает наибольшее значение.