Решите в натуральных числах уравнение x^2-4y=31

X^2 = 4y + 31 = 4 у + 28 + 3 = 4 (y + 7) + 3

Это значит, что x^2 и x - нечетные числа, причем x^2 > 31.

Кроме того, при делении на 4 оно дает остаток 3.

Обозначим x = 2n + 1 и возведем его в квадрат.

x^2 = (2n + 1) ^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 4 (n^2 + n) + 1

Квадрат любого нечетного числа при делении на 4 дает остаток 1.

Таким образом, это уравнение не имеет решений в натуральных числах.