Определить тип и привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду : - 2x^2-4xy-3y^2+2x+3y-4=0

Обожаю такие задачи! Тут самое трудное - избавиться от xy.

Для этого введем новые переменные:

x = u*cos a + v*sin a

y = u*sin a - v*cos a

Здесь а - это угол поворота осей координат, u и v - новые оси.

-2 (u*cos a + v*sin a) ^2 - 4 (u*cos a + v*sin a) (u*sin a - v*cos a) -

- 3 (u*sin a - v*cos a) ^2 + 2 (u*cos a + v*sin a) + 3 (u*sin a - v*cos a) - 4 = 0

-2 (u^2*cos^2 a+2uv*sin a*cos a+v^2*sin^2 a) -

- 4 (u^2*sin a*cos a+uv*sin^2 a-uv*cos^2 a-v^2*sin a*cos a) -

- 3 (u^2*sin^2 a-2uv*sin a*cos a+v^2*cos^2 a) +

+ 2u*cos a + 2v*sin a + 3u*sin a - 3v*cos a - 4 = 0

u^2 * (-2cos^2 a - 4sin a*cos a - 3sin^2 a) +

+ v^2 * (-2sin^2 a + 4sin a*cos a - 3cos^2 a) +

+ uv * (-4sin a*cos a - 4sin^2 a + 4cos^2 a + 6sin a*cos a) +

+ u * (2cos a + 3sin a) + v * (2sin a - 3cos a) - 4 = 0

Коэффициент при uv приравниваем к 0, решаем уравнение, находим а.

-4sin a*cos a - 4sin^2 a + 4cos^2 a + 6sin a*cos a = 0

-4sin^2 a + 4cos^2 a + 2sin a*cos a = 0

Делим все на - 2cos^2 a

2tg^2 a - tg a - 2 = 0

D = 1 - 4*2 * (-2) = 17

tg a1 = (1 - √17) / 4~-0,78; a1~142° > pi/2 - не подходит.

tg a2 = (1 + √17) / 4~1,28; a2~52° < pi/2 - подходит (берем меньший угол).

Получили:

tg a = (1 + √17) / 4;

1 + tg^2 a = 1 + (1+2 √17+17) / 4 = 1 + (9+√17) / 2 = (11+√17) / 2 = 1/cos^2 a

cos^2 a = 2 / (11 + √17) = 2 (11-√17) / (121-17) = (11-√17) / 52

cos a = √ (11-√17) / √52 = √ (11-√17) / (2√13) = √[13 (11-√17) ]/26

sin^2 a = 1 - cos^2 a = 1 - (11-√17) / 52 = (41+√17) / 52

sin a = √[13 (41+√17) ]/26

Вернемся к начальному тригонометрическому уравнению

-4sin^2 a + 4cos^2 a + 2sin a*cos a = 0

4cos 2a + sin 2a = 0

tg 2a = - 1/4

1 + tg^2 (2a) = 1 + 1/16 = 17/16 = 1/cos^2 (2a)

cos^2 (2a) = 16/17

sin^2 (2a) = 1 - cos^2 (2a) = 1 - 16/17 = 1/17

sin 2a = 2sin a*cos a = 1/√17 = √17/17

Подставляем все это в уравнение с u и v:

u^2 * (-2 * (11-√17) / 52 - 2sin 2a - 3 * (41+√17) / 52) +

+ v^2 * (-2 * (41+√17) / 52 + 2sin 2a - 3 * (11-√17) / 52) +

+ u * (2*√ (143-13√17) / 26 + 3*√ (533+13√17) / 26) +

+ v * (2 √ (533+13√17) / 26 - 3*√ (143-13√17) / 26) - 4 = 0

u^2 * (-2 * (11-√17) / 52 - 2√17/17 - 3 * (41+√17) / 52) +

+ v^2 * (-2 * (41+√17) / 52 + 2√17/17 - 3 * (11-√17) / 52) +

+ u * (2*√ (143-13√17) / 26 + 3*√ (533+13√17) / 26) +

+ v * (2 √ (533+13√17) / 26 - 3*√ (143-13√17) / 26) - 4 = 0

Если посчитать это все на калькуляторе, то получится примерно так:

-3,35u^2 - 1,65v^2 + 0,77u + 0,69v - 4 = 0

Умножаем все на - 100

335u^2 + 165v^2 - 77u - 69v + 400 = 0

335 (u^2 - 2*u*77/670 + (77/670) ^2) - 335 * (77/670) ^2 +

+ 165 (v^2 - 2*v*69/330 + (69/330) ^2) - 165 * (69/330) ^2 + 400 = 0

335 (u - 77/670) ^2 + 165 (v - 69/330) ^2 = 4,42 + 7,21 - 400 = - 388,37

(u - 77/670) ^2 / (165*388,37) + (v - 69/330) ^2 / (335*388,37) = - 1

Слева стоит сумма квадратов, а справа - 1.

Это уравнение не имеет решений и не соответствует никакой кривой.

Видимо, в задании есть опечатка. На это также указывает угол поворота.

Обычно угол поворота бывает табличный, например, pi/4, pi/3 или pi/6.