При каком положительном значении a один корень уравнения равен квадрату другого? 8x2-6x+9a2=0

8x² - 6x + 9a² = 0

По теореме Виета сумма корней уравнения ax² + bx + c = 0 равна x₁ + x₂ = - b/a. Т. к. у нас b = - 6, a = 8. то x₁ + x₂ = 6/8 = 3/4. Отсюда x₂ = 3/4 - x₁. По условию x₁ = x₂² = > x₁ = (3/4 - x₁) ², следовательно (3/4 - x₁) ² - x₁ = 0 = > 9/16 - (3/2) x₁ + x₁² - x₁ = 0 = > (16x₁² - 24x₁ - 16x₁ + 9) / 16 = 0 = > 16x₁² - 40x₁ + 9 = 0. Находим дискриминант D = 1600 - 16*36 = 1600 - 576 = 1024. Его корни будут x₁ = (40 + √1024) / 32 = (40 + 32) / 32 = 72/32 = 9/4 и x₁ = (40 - √1024) / 32 = (40 - 32) / 32 = 8/32 = 1/4. Тогда второй корень x₂ = 3/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2. Подставляя этот корень в уравнение, находим значение параметра a: 8x² - 6x + 9a² = 0 = > 8/4 - 6/2 + 9a² = 0 = > 9a² + 2 - 3 = 0 = > 9a² - 1 = 0 = > 9a² = 1 = > a² = 1/9 = > a = + 1/3 и a = - 1/3. Т. к. ищется положительное значение a, то a = 1/3.

Ответ: a = 1/3.