Что такое интеграл?

Определённый интеграл - это особая хитрая сумма (точнее её предел). Способ её построения на пальцах трудно пояснить, надо писать формулы, и рисовать графики. Самая простая интерпретация определёного интеграла - это площадь (определённый интеграл от а до b от какой-то функции равен площади ограниченной её графиком и взятой от а до b). Есть и более сложные, есть и другие типы интегралов. Если действительно охота разобраться, есть очень доступная книга: Хинчин, "восемь лекций по математическому анализу"