Понятие корня n-ой степени и его свойства

Свойства корня n-й степени

Чтобы успешно использовать на практике операцию извлечения корня, нужно познакомиться со свойствами этой операции, что мы и сделаем настоящем параграфе.

Все свойства формулируются и доказываются только для неотрицательных значений переменных, содержащихся под знаками корней.

Доказательство. Введем следующие обозначения: Нам надо доказать, что для неотрицательных чисел х, у, z выполняется равенство х-уz.

Так как

Итак, Но если степени двух неотрицательных чисел равны и показатели степеней равны, то равны и основания степеней; значит, из равенства xn = (уz) п следует, что х-уz, а это и требовалось доказать.

Приведем краткую запись доказательства теоремы.

Замечания:

1. Теорема 1 остается справедливой и для случая, когда подкоренное выражение представляет собой произведение более чем двух неотрицательных чисел.

2. Теорему 1 можно сформулировать, используя конструкцию "если ... то" (как это принято для теорем в математике). Приведем соответствующую формулировку: если а иb - неотрицательные числа, то справедливо равенство Следующую теорему мы именно так и оформим.

Краткая (хотя и неточная) формулировка, которую удобнее использовать на практике: корень из дроби равен дроби от корней.

Доказательство. Приведем краткую запись доказательства теоремы 2, а вы попробуйте сделать соответствующие комментарии, аналогичные тем, что были приведены при доказательстве теоремы 1. конечно, обратили внимание на то, что доказанные два свойства корней п-й степени представляют собой обобщение известных вам из курса алгебры 8-го класса свойств квадратных корней. И если бы других свойств корней п-й степени не было, то как бы все было просто (и не очень интересно). На самом деле есть еще несколько интересных и важных свойств, которые мы обсудим в этом параграфе. Но сначала рассмотрим несколько примеров на использование теорем 1 и 2.

Пример 1. Вычислить

Решение. Воспользовавшись первым свойством корней (теорема 1), получим:

Замечание 3. Можно, конечно, этот пример решить по-другому, особенно если у вас под рукой есть микрокалькулятор: перемножить числа 125, 64 и27, а затем извлечь кубический корень из полученного произведения. Но, согласитесь, предложенное решение "интеллигентнее".

Пример 2. Вычислить

Решение. Обратим смешанное число в неправильную дробь.

Имеем Воспользовавшись вторым свойством корней (теорема 2), получим:

Пример 3. Вычислить:

Решение. Любая формула в алгебре, как вам хорошо известно, используется не только "слева направо", но и "справа налево". Так, первое свойство корней означает, что можно представить в виде, наоборот, можно заменить выражением. То же относится и ко второму свойству корней. Учитывая это, выполним вычисления:

Пример 4. Выполнить действия:

Решение, а) Имеем:

б) Теорема 1 позволяет нам перемножать только корни одинаковой степени, т. е. только корни с одинаковым показателем. Здесь же предлагается умножить корень 2-й степени из числа а на корень 3-й степени из того же числа. Как это делать, мы пока не знаем. Вернемся к этой проблеме позднее.

Продолжим изучение свойств радикалов.

Иными словами, чтобы возвести корень в натуральную степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.

Это - следствие теоремы 1. В самом деле, например, для к = 3