Каждый из трех квадратных трехчленов x2+p1x+q1, x2+p2x+q2 и x2+p3x+q3 имеет два различных корня, у любых двух трехчленов есть общий корень, а у всех трех трехчленов общего корня нет. Докажите, что q1q2q3>0

По теореме Виетта произведение корней указанных трехчленов с единицей при x^2 равно q.

Имеем

x11*x12 = q1

x21*x22 = q2

x31*x32 = q3

Перемножаем все

(x11*x12) * (x21*x22) * (x31*x32) = q1*q2*q3

по условию каждая из скобок имеет общий корень xx1 xx2 xx3 и эти корни не равны.

xx1^2 * xx2^2 * xx3^2 = q1*q2*q3

Левая часть больше 0, как и произведение квадратов, значит и правая больше нуля.

Случай с одним нулем из xx1 xx2 xx3 имеет место быть тогда произведение ноль, но неявно задано что q ненулевые.