Две касающиеся внешним образом в точке К окружности, радиусы которых равны 15 и 24, касаются сторон угла с вершиной А. общая касательная к этим окружностям, проходяжая через точку К, пересекает стороны угла в точках В и С. найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС

Радиусы обеих окружностей лежат на биссектрисе ∠А. Общая касательная ей перпендикулярна и точка К лежит на той же биссектрисе. Поэтому АК есть одновременно и высота, т. е ΔАВС равнобедренный и центр описанной окружности лежит на той же биссктрисе. Из центров О1 и О2 малой и большой окружностей проведем радиусы ⊥АВ до пересечения с АВ в точках D и F Из О1 проведем линию ∥АВ пересекающую O2F в точке E. ∠EO1O2 = ∠BAK (∠a).

O1O2=R1+R2=15+24=39;

O2E=R2-R1=24-15=9

sin∠a = O2E / O1O2=9/39=3/13; cos∠a=√ (1 - (3/13) ²) = √ (160/169) = (4√10) / 13

AO1=R1/sin∠a=15*13/3=45;

AK=AO1+R1=45+15=60;

AB=AK/cos∠a=60*13 / (4√10) = 195/√10

Пусть G-середина АВ. Тогда радиус окружности описанной около ΔАВС есть

R=AG/cos∠a=AB/2/cos∠a=195 / (2√10) / ((4√10) / 13) = 195*13 / (10*4*2) = 195*13/80=39*13/16=507/16

R=507/16!