Найти высоту конуса наименьшего объема, описанного около полушара радиуса R (цент основания конуса лежит в центре основания шара)

Пусть O - центр полушара и основания конуса, S - вершина конуса, T - точка на основании конуса. Рассмотрим сечение TSO. Высота OU треугольника OTS равна R (образующая TS касается полушара). Обозначим ∠STO = α, ∠OST = 90° - α. Из треугольников OSU и OTU находим радиус основания (OT) и высоту (OS) конуса:

r = R/sin α,

h = R/cos α.

V = ⅓πr²h = ⅓πR³ / (cos α sin² α) = ⅓πR³ / (cos α - cos³ α).

Функция t - t³ (t = cos α, 0 < t < 1) принимает наибольшее значение в нуле производной 1 - 3t², то есть при t = 1/√3. Оно равно 2 / (3√3).

Минимальное значение объёма равно ⅓πR³ / (2 / (3√3)) = ½πR³√3.