Докажите, что если (a+b) делится на 9, a*b делится на 9, то:

а) (а^2 + b^2) делится на 9;

б) (а^3 + b^3) делится на 81;

в) (а^3 + b^3) делится на 243.

Дано:

(a + b) : 9

ab : 9

а) a² + b² = (a²+2ab+b²) - 2ab = (a+b) ² - 2ab

Так как и уменьшаемое и вычитаемое делятся на 9, то их разность тоже делится на 9.

б) a³ + b³ = (a+b) (a²-ab+b²) = (a+b) ((a²+2ab+b²) - 3ab) =

= (a+b) ((a+b) ²) - 3ab) = (a+b) (a+b) ² - 3ab (a+b) =

= (a+b) ³ - 3ab (a+b)

Так как каждый из двух множителей делится на 9, то произведение делится на 9·9 = 81.

Так как (a+b) ³ трижды делится на 9, значит, оно делится и на 81;

В выражении 3ab (a+b) по условию ab : 9 и (a+b) : 9 делится на 81, то и выражение 3ab (a+b) делится на 9·9=81.

Так как и уменьшаемое и вычитаемое делятся на 81, то их разность тоже делится на 81.

в) a³ + b³ = (a+b) (a²-ab+b²) = (a+b) ((a²+2ab+b²) - 3ab) =

= (a+b) ((a+b) ²) - 3ab) = (a+b) (a+b) ² - 3ab (a+b) =

= (a+b) ³ - 3ab (a+b)

Так как (a+b) ³ трижды делится на 9, значит, оно делится и на 9·9·9=729, и на 9·9·3 = 243;

В произведении 3ab (a+b)

первый множитель 3 делится на 3;

второй множитель ab : 9 по условию;

третий множитель (a+b) : 9 по условию, значит, всё произведение 3ab (a+b) делится на 3 ·9·9 = 243.

Так как и уменьшаемое и вычитаемое делятся на 243, то их разность тоже делится на 243.