Решите уравнение x^3-3x^2-2x+a=0 зная, что его корни образуют геометрическую прогрессию

Так как уравнение имеет три действительных корня, то его можно представить так:

x^3-3x^2-2x+a = (x-x1) (x-x2) (x-x3) = 0

Раскрыв скобки, мы получим теорему Виета для кубического уравнения

{ x1+x2+x3 = 3

{ x1*x2+x1*x3+x2*x3 = - 2

{ x1*x2*x3 = - a

Кроме того, мы знаем, что корни образуют геом. прогрессию.

x1=b; x2=b*q; x3=b*q^2

{ b+b*q+b*q^2 = 3

{ b*b*q+b*b*q^2+b*q*b*q^2 = - 2

{ b*b*q*b*q^2 = - a

Упрощаем

{ b * (1+q+q^2) = 3

{ b^2*q * (1+q+q^2) = - 2

{ b^3*q^3 = - a

Подставляем 1 уравнение во 2 уравнение

b^2*q*3/b = 3b*q = - 2

b*q = - 2/3

a = - b^3*q^3 = - (b*q) ^3 = - (-2/3) ^3 = 8/27

Таким образом а = 8/27. Но нам надо решить уравнение.

x^3-3x^2-2x+8/27 = 0

Умножим всё на 27

27x^3-81x^2-54x+8 = 0

Один корень нам известен: x2=b*q=-2/3

Подставим его в теорему Виета

{ x1+x2 = 3-x2 = 3+2/3 = 11/3

{ x1*x2 = - a/x2 = - (8/27) : (-2/3) = 4/9

Значит, x1 и x3 - корни квадратного уравнения

x^2 - 11/3*x + 4/9 = 0

9x^2 - 33x + 4 = 0

D=33^2-4*9*4=1089-144=945 = (3√105) ^2

x1 = (33-3√105) / 18 = (11-√105) / 6

x3 = (33+3√105) / 18 = (11+√105) / 6

На всякий случай найду ещё и q.

q=x2:x1 = (-2/3) : ((11-√105) / 6) = - 4 / (11-√105)

q=-4 (11+√105) / (121-105) = - (11+√105) / 4

Всё!