Молодой предприниматель Михайлов Юрий в свете экономического кризиса решил выкупить нерентабельное провинциальное перерабатывающее предприятие и пригласил экономиста Гульдерова Германа помочь с расчетами по оптимизации расходов. Одна из задач поставленных перед Германом была следующая: найти, при каких условиях расход жести на изготовление консервных банок цилиндрической формы заданной емкости будет наименьшим.

Поверхность банки состоит из двух крышек (круги, S1=pi*R^2) и боковой поверхности, которая есть прямоугольник, скрученный в цилиндр.

Длина прямоугольника равна длине окружности крышки (C=2pi*R),

а высота равна высоте банки H. Площадь боковой поверхности

S2 = 2*pi*R*H

Площадь поверхности банки, то есть расход жести:

S = 2*S1 + S2 = 2*pi*R^2 + 2*pi*R*H

Объем банки нам известен:

V = pi*R^2*H, отсюда

H = V / (pi*R^2)

Подставляем в формулу площади поверхности:

S = 2*pi*R^2 + 2*pi*R*V / (pi*R^2) = 2*pi*R^2 + 2*V/R

Чтобы найти точку минимума, нужно приравнять к 0 производную по R.

S' = 4*pi*R - 2*V/R^2 = 0

2 (2*pi*R^3 - V) = 0

V = 2*pi*R^3

Но по формуле объема

V = pi*R^2*H

Значит

2*pi*R^3 = pi*R^2*H

Делим на pi и на R^2

2*R = H

Ответ: наименьший расход будет, когда высота банки равна диаметру.