Найдите произведение суммы корней уравнения 9^ (x-5) - 3^ (x-5) = 3^ (x+3) - 3^8 на их количество.

9^ (x-5) - 3^ (x-5) = 3^ (x+3) - 3^8

9^x/9^5 - 3^x/3^5 = 3^x*3^3 - 3^8

Умножаем все на 9^5 = 3^10

9^x - 3^x*3^5 = 3^x*3^13 - 3^18

Замена 3^x = y > 0 при любом х

y^2 - y*3^5 - y*3^13 + 3^18 = 0

y^2 - y * (3^5 + 3^13) + 3^18 = 0

Квадратное уравнение

D = (3^5 + 3^13) ^2 - 4*3^18 = 3^10 + 2*3^5*3^13 + 3^26 - 4*3^18 =

= 3^10 + 2*3^18 + 3^26 - 4*3^18 = 3^10 - 2*3^18 + 3^26 = (3^5 - 3^13) ^2

y1 = (3^5 - 3^5 + 3^13) / 2 = 3^13/2

y2 = (3^5 + 3^5 - 3^13) / 2 = (2*3^5 - 3^13) / 2 = 3^5 - 3^13/2 < 0 - не подходит

Обратная замена

y = 3^x = 3^13/2

Берем логарифм по основанию 3

log3 (3^x) = log3 (3^13/2) = log3 (3^13) - log3 2

x = 13 - log3 2

Корень всего один, поэтому произведение суммы корней на их количество равно самому корню

Ответ: 13 - log3 2