Исследование функций

1) x^ (2) lnx

2) e^ (-x) + x

3) 9 (x+1) ^ (2/3) - 6x-6

План исследования

1) Область определения

2) Четность нечетность функции

3) Точки пересечения с осями координат

4) Непрерывность функции в точках разрыва

5) Асимптоты графика функции

6) Интервалы монотонности (возрастание, убывание)

7) Интервалы выпуклости, вогнутости графика (точки перегиба)

область определения функции y=x ln x от нуля до бесконечности, не включая нуль

2) y (-x) = - x ln x - общего вида.

3) точки пересечения с осями:

Oy, но х≠ 0, значит точек пересечения с осью y нет.

Ox: y=0, то есть x ln x=0

x=0 или ln x=0

0 ¢ D (y) x=e0

x=1

(1; 0) - точка пересечения с осью х

4) Найдем производную функции:

y’=x’ ln x + x (ln x) ’=ln x + 1

5) критические точки:

y’=0, то есть ln x + 1=0

ln x=-1

x=e-1

x=1/e (≈ 0,4)

y’=0, если x=1/e, значит x=1/e - критическая точка.

6) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак

функции:

-1/e

- +

1/e

x=1 / (2e); y’=log (2e) - 1+1=1-ln (2e) = 1-ln e=-ln 2<0

x=2e; y’=ln (2e) + 1=ln 2+ln e+1=ln 2+2>0

7) Так как на промежутке (0; 1/е) y' (x) <0 то на этом промежутке функция убывает

Так как на промежутке (1/е; бесконечность) y' (x) >0 то на этом промежутке функция возрастат.

Следовательно точка х=1/е является точкой минимума.

8) экстремумы функции:

ymin=y (1/e) = 1/e ln e-1=-1/e (≈ - 0,4).

9)

Горизонтальной асимптоты у функции нет, поскольку предел функции при стремлении х в плюс бесконечность равен плюс бесконечности.

Вертикальные асимптомы - подозреваемая точка х=0 (граница области определения). Чтобы узнать, будет ли х=0 вертикальной асимптотой надо найти предел функции при х стремящемся к нулю справа. этот предел равен нулю. Следовательно, по определению, х=0 не является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты. Если они и есть, то только правые (слева область определения ограниченна 0).

по теореме о существовании наклонных асимптот, если существуют конечные lim f (x) / x = k и lim f (x) - kx = b (х в обоих случаях стремится к плюс бесконечности, раз ищем правую асимптоту), то y=kx+b будет наклонной асимптотой.

вычисляя lim f (x) / x получаем бесконечность, следовательно, наклонных асимптот нет.

Таким образом, у функции нет асимптот