Докажите, что уравнение имеет решение в целых числах

Ну раз уж не просят найти все решения, то очевидно, что x=y=0 удовлетворяет условию задачи. А если находить все решения, то только так:

xy=2003 (x+y)

xy-2003x-2003y+2003*2003=2003*2003

(x-2003) (y-2003) = 2003*2003

2003 простое = > имеем 8 систем уравнений, каждое из которых дает решение уравнения