Окружности радиусов 2 и 3 внешним образом касаются друг друга в точке A. Их общая касательная, проходящая через точку A, пересекает две другие их общие касательные в точках B и C. Найти BC.

Если провести из центра меньшей окружности прямую, параллельную внешней касательной, то получим прямоугольный треугольник О2 ЕО1 с гипотенузой, равной сумме радиусов, и катетом, равным разности катетов.

Косинус угла α = ∠ЕО2 О1 равен:

cos α = (3-2) / (3+2) = 1/5.

Точка В принадлежит двум касательным, значит, отрезок О2 В - это биссектриса угла ЕО2 О1.

tg (α/2) = √ (1-cos α) / (1+cos α) = √ ((1 - (1/5)) / (1 + (1/5)) = √ (4/6) = √2/√3.

Длина отрезка ВС равна:

ВС = 2*R2*tg (α/2) = 2*3*√2/√3 = 2√6.