Сложной функция - это, например, когда внутри одной функции есть еще одна функция или даже несколько функций. Элементарной функцией называется (цитата) Всякая функция f, которая может быть задана с помощью формулы y = f (x), содержащей лишь конечное множество арифметических операций (сложение, деление, умножение, вычитание) над основными элементарными функциями и композиций (т. е. я так понимаю несколько функций), называется элементарной функцией. Вопрос: я не очень понял отличие между сложной функцией и элементарной, определения как я считаю похожи, можно на пальцах?

Н-да. Если речь идет о школе, то термин "композиция функций" использовать не стоит. Он затянет в глубину без полезных последствий.

Приведенное определение вообще не очень продуктивно, поскольку элементарная функция определяется через элементарные функции.

Так что же такое - элементарная функция (эф) ?

ЭФ - рациональные (целые и дробные) и иррациональные, а также некоторые ф-ции, которые нельзя выразить через радикалы (корни) : тригонометрические, обратные тригонометрические, показательные и логарифмические.

Для полноты картины можно перечислить десятки трансцендентных функций, которые по необъяснимым причинам не вошли в состав элементарных.

Следующий вопрос. Как же вычислить трансцендентную функцию, если не хватает алгебраических операций?. Например, как вычислить sin (1) ? Для этого существуют приближенные методы, которые позволяют вычислить любой заданной точностью.

Элементарной считается также функция, составленная из рассмотренных элементарных функций, связанных знаками алгебраических операций, а также функция, в которой в качестве аргумента можно рассматривать элементарную функцию.

Последнее дает представление о сложных функциях, как о функциях

в которых в качестве аргумента можно рассматривать элементарные функции.

Многие функции допускаю представление в виде сложной функции.

Например, х^4 = t ², где t=x².

Одну и туже функцию можно представить как сложную несколькими способами.

Например, √sinx² = √t, где t=sinx² или √sinx² = √sint, где t=x².

Деление функций на элементарные и сложные вполне ошибочно. Надо понимать, что некоторые элементарные функции можно рассматривать как сложные, если это требуется для данной задачи