Как доказать, что минус на минус дает плюс? не говорите, что аксиома

Можно воспользоваться поговоркой враг моего врага мой друг. отрицание отрицательного дает положительное.

нам так объясняли, без аксиомы

Для начала докажем, что - a = (-1) a. Итак, a + (-1) a = 1a + (-1) a = (1 + (-1)) a по аксиомам о существовании нейтрального элемента и о дистрибутивности умножения. Далее (1 + (-1)) a = 0a по аксиоме о противоположном элементе. Покажем, что 0a = 0.

0a + a = 0a + 1a = (0+1) a = 1a = a. По аксиоме о существовании нейтрального элемента по сложению, получаем 0a + a = a = 0 + a, откуда 0a = 0. Возвращаясь назад, мы получили, что a + (-a) = 0 = 0a = a + (-1) a. То есть, действительно, - a = (-1) a.

Далее в рамках аксиоматики делаем следующие преобразования: (-a) (-b) = (-1) a (-1) b = (-1) (-1) ab = - (-1) ab (в последнем равенстве мы заменили (-1) (-1) на - (-1), т. к. ранее мы доказали, что - a = (-1) a).

Покажем, что - (-a) = a. Из аксиомы о противоположном элементе - (-a) - это такой элемент x, что (-a) + x = 0. Из той же аксиомы получаем, что a + (-a) = (-a) + a = 0, значит, этот элемент равен a. Отсюда - (-1) = 1. Значит, - (-1) ab = 1ab = ab по аксиоме о существовании нейтрального элемента по умножению. Окончательно, (-a) (-b) = ab. Что и требовалось доказать.