Исследовать функцию y=x^3-6x^2+9x на экстремум. Найти промежутки возрастания и убывания данной функции

Решение

y = x³ - 6 * (x²) + 9*x

1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.

f' (x) = 3x² - 12x + 9

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю

3x² - 12x + 9 = 0 делим на 3

x² - 4x + 3 = 0

Откуда:

x₁ = 1

x₂ = 3

(-∞; 1) f' (x) > 0 функция возрастает

(1; 3) f' (x) < 0 функция убывает

(3; + ∞) f' (x) > 0 функция возрастает

В окрестности точки x = 1 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = 1 - точка максимума.

В окрестности точки x = 3 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 3 - точка минимума.