На какую цифру оканчивается сумма кубов натуральных чисел от 1 до 999 включительно?

Думаю, на 0.

Способы:

1) Есть формула суммы кубов натуральных чисел до заданного - думаю, оттуда можно (но формулу искать лень).

2) Будем искать последнюю цифру суммы

1^3+2^3 + ... + 999^3+1000^3

Ясно, что она такая же, что у суммы без последнего слагаемого.

Если посмотреть последние цифры чисел 1^3,2^3, ... 10^3,

то они дают все однозначные цифры (интересно! - не знал):

1,8,7,4,5,6,3,2,9,0 - в сумме дают 45, что оканчивается на 5.

Ясно, что последние цифры чисел 11^3, ...,20^3 те же самые

И т. д.

Поэтому если разбить исходную сумму на 100 сумм (по 10 слагаемых в каждой), то в каждой последняя цифра 5, но 100 раз по 5 дает 0 в конце.

Вроде так.