На ста карточках написаны числа от 1 до 200. На каждой карточке по два числа: одно четное и одно нечетное, отличающиеся на 1. Вася выбрал 21 карточку. Могла ли сумма 42-х чисел на них ровно 2017

Нет, не могло.

На каждой карточке написаны числа вида 2n + 1 и 2n + 2. Их сумма равна (2n + 1) + (2n + 2) = 4n + 3 и даёт остаток 3 при делении на 4. Тогда сумма чисел на 21 карточке должна давать такой же остаток, что и 3 * 21 = 63, т. е. 3. Но 2017 даёт остаток 1 при делении на 4, так что не может быть суммой чисел на 21 карточке.