Найти все натуральные n, при которых являются составными числа: а) n^4+64; b) n^4+n^2+1

А) n^4+64 = (n^2) ^2 + 2*n^2*8 + 8^2 - 2*n^2*8 = (n^2+8) ^2 - (4n) ^2=

(n^2-4n+8) * (n^2+4n+8)

При n>0 n^2-4n+8 1, то n^2+4n+8 > 1, а все произведение - составное число.

n^2-4n+8>1 достигается при любых значениях n:

n^2-4n+7>0

D = (-4) ^2-4*7=-12<0

Причем n^2-4n+8 = 1 ни при каких n.

Таким образом, n^4+64 является составным при любых натуральных n.

б) n^4+n^2+1=n^4+2n^2+1-n^2 = (n^2+1) ^2-n^2 = (n^2-n+1) (n^2+n+1)

При n > 0 n^2-n+1
Рассмотрим случай, когда n^2-n+1=1.

n^2-n=0,

n=0 или n=1.

Соответственно, при n=1 n^4+n^2+1 = (1^2-1+1) (1^2+1+1) = 3 - простое число. n=1 не подходит.

Если n^2-n+1>1, n > 1 - каждая из скобок больше 1. То есть произведение этих скобок дает составное число.

Таким образом, n^4+n^2+1 является составным для всех натуральных n, кроме 1.