Цветник имеет форму квадрата 2018 2018. Он поделён бордюрами, параллельными его сторонам, на квадратные клумбы размера 1 1. Изначально все клумбы пусты. Двое садовников играют в такую игру: каждый из них по очереди высаживает куст роз в центр одной из пустых клумб; их ходы чередуются. Выигрывает тот, после хода которого какие-то четыре куста роз будут располагаться в вершинах квадрата. Какой садовник выиграет при правильной игре первый или второй?

Ответ. Второй.

Решение. Выигрышная стратегия второго садовника такова. Если после очередного хода

первого садовника в цветнике нет трёх кустов роз, лежащих в вершинах квадрата, четвёртая

вершина которого пуста, то своим следующим ходом второй садовник высаживает куст роз в

клумбу, симметричную относительно центра цветника той клумбе, в которую только что посадил

куст роз первый садовник. Если же после очередного хода первого садовника в цветнике есть три

куста роз, лежащие в вершинах квадрата, а четвёртая вершина этого квадрата пуста, то своим

следующим ходом второй садовник высаживает куст роз в четвёртую вершину этого квадрата и

выигрывает.

При такой стратегии после хода второго садовника никогда не может возникнуть ситуации,

при которой есть три куста в вершинах квадрата, четвёртая вершина которого пуста. Действительно,

если второй садовник ещё не выиграл, то после его хода расположение кустов роз симметрично

относительно центра цветника. Если при этом есть три куста роз, лежащие в вершинах

квадрата, четвёртая вершина которого пуста, значит то же верно и про квадрат, которой симметричен

этому относительно центра цветника. Хотя бы один из этих квадратов имелся уже после

хода первого садовника, а значит, второй садовник должен был уже выиграть.