На доске написаны многочлены х+2 и 2 х+1. Разрешается записать сумму, разность или произведение любых двух из уже написанных многочленов. Может ли на доске появиться многочлен 2 х куб + х+5?

Подставим х=1. Первый многочлен равен 1+2=3, второй тоже 2*1+1=3. На доске должен появиться многочлен, примущий вид: 2*1^3+1+5=8.

Когда мы будем производить вычетание, сложение или умножение существуюших многочленов (первые многочлены это 3), то будут появляться многочлены делящиеся на 3. Но 8 не делится на 3, значит такой многочлен не мог получиться.