Решить дифференциальное уравнение y''-y'=4+x

Простое неоднородное уравнение 2 порядка.

Решение функция y = y0 + y~

Решаем сначала однородное.

y'' - y' = 0

Характеристическое уравнение

k^2 - k = 0

k1=0; k2=1

y0 = C1*e^0x + C2*e^x = C1 + C2*e^x

Теперь решаем неоднородное.

y~ = x * (Ax+B) = Ax^2 + Bx

y~' = 2Ax + B

y~'' = 2A

Подставляем в уравнение

2A - 2Ax - B = 4 + x

Составляем систему по степеням.

{ - 2A = 1

{ 2A - B = 4

Решаем

A = - 1/2; B = - 1 - 4 = - 5

y~ = - 1/2*x^2 - 5x

В итоге

y = y0 + y~ = C1 + C2*e^x - 1/2*x^2 - 5x