Сколько существует n-значных чисел, состоящих лишь из цифр 1, 2, 3, в записи которых каждая из трех цифр, по крайней мере, один раз?

3ⁿ - 3 * 2ⁿ + z3

3ⁿ - это всего чисел из трёх этих трёх цифр. У нас три способа выбрать каждую из цифр для того, чтобы поставить её на конкретное место, всего в числе n мест.

3 * 2ⁿ - числа только из 1 и 2, только из 1 и 3, только из 2 и 3. Теперь у нас по два способа выбрать каждую из цифр, но у нас три варианта выбора набора цифр, присутствующих в числе.

3 - это числа 111 ... 111, 222 ... 222, 333 ... 333. Прибавляем, так как отняли их дважды.