Почему в решениях тригонометрический уравнений в некоторых случаях ставится и n, и k, а в некоторых только n

Тригонометрические функции периодичны. То есть, например,

если решением уравнения 2 х = 10 является единственное число 5, то у уравнения cosx = 0 решений бесконечное множество, так как косинус обращается в ноль при:

π/2 + πk, где k∈Z (множеству целых чисел)

В данном случае k - переменная. Иногда вместо нее употребляется n. Принципиального различия в обозначении переменной нет.

Выглядит это так:

π/2 + πn, n∈Z.

Некоторые тригонометрические уравнения имеют решения с периодом 2π:

sinx = - 1 ⇔ x = - π/2 + 2πn, n∈Z

При решении некоторых тригонометрических уравнений могут образоваться 2 разных корня. Например решением уравнения:

sin²x - sinx*cosx - 2cos²x = 0

будут:

-π/4 + πk; arctg2 + πn, n; k ∈ Z

В этом случае n и k являются независимыми друг от друга переменными, поэтому для периода каждого корня используется разное ее обозначение.