Заданы координаты вершин пирамиды А1 А2 А3 А4. Средствами векторной алгебры найти: 1) длину ребра А2 А3; 2) площадь грани А1 А2 А3; 3) угол между ребрами А1 А2 и А1 А4; 4) объем пирамиды. (0; 0; 0) (5; 2; 0) (2; 5; 0) (1; 2; 4)

Пошаговое объяснение:

Даны координаты вершин пирамиды:

А1 (1, 1, 1), А2 (2,

0, 2), А3 (2, 2, 2), А4 (3, 4, - 3).

Найти:

1) длину ребра А1 А2.

|A1A2| = √ ((2-1) ² + (0-1) ² + (2-1) ²) = √3 ≈ 1,73205.

2) угол α между ребрами А1 А2 и А1 А3.

Вектор А1 А2: (2-1=1; 0-1=-1; 2-1=1) = (1; - 1; 1).

Вектор А1 А3: (2-1=1; 2-1=1; 2-1=1) = (1; 1; 1).

cos α = |1*1 + (-1) * 1+1*1| / (√ (1² + (-1) ²+1²) * √ (1²+1²+1²) = 1 / (√3*√3) = 1/3.

α = arc cos (1/3) = 1,2309594

радиан = 70,528779

градуса.

3) площадь грани А1 А2 А3.

S = (1/2) * |a * b|.

Найдем векторное произведение векторов:

c = a * b.

a * b = ijkaxayazbxbybz = ijk1-11111 = i ((-1) ·1 - 1·1) - j (1·1 - 1·1) + k (1·1 - (-1) ·1) =

= i (-1 - 1) - j (1 - 1) + k (1 + 1) = {-2; 0; 2}

Найдем модуль вектора:

|c| = √ (cx² + cy² + cz²) = √ ((-2) ² + 0² + 2²) = √ (4 + 0 + 4) = √8 = 2√2.

Найдем площадь треугольника:

S = (1/2) * 2√2 = √2 ≈ 1,41421356.

Площадь грани можно также найти по формуле:

S = (1/2) |A1A2|*|A1A3|*sin α.

Синус найдём через найденный косинус угла между векторами:

sin α = √ (1-cos²α) = √ (1 - (1/3) ²) = √ (8/9) = 2√2/3.

Модули векторов уже найдены при определении косинуса угла:√3 и √3.

Площадь грани A1A2A3 равна:

S = (1/2) * √3*√3*2√2/3 = √2.

4) объем пирамиды А1 А2 А3A4 (с учётом, что A1A4 = (2; 3; -4)).

V = (1/6) * |1 - 1 1|

|1 1 1|

|2 3 - 4|.

Так как определитель матрицы

∆ = 1 * (1 * (-4) - 3*1) - 1 * ((-1) * (-4) - 3*1) + 2 * ((-1) * 1-1*1) = - 12, то объём равен:

V = (1/6) * 12 = 2.

5) длину высоты пирамиды, проведенной из вершины A4.

Длина высоты пирамиды H=3V/Sосн = 3*2/√2 = 3√2 ≈ 4,242641.