Могут ли стороны прямоугольного треугольника образовывать арифметическую прогрессию? Мне нужен исчерпывающий ответ, с доказательством используя формулы арифметической прогрессии, а не просто: да, например, египетский треугольник.

Если стороны образую арифметическую прогрессию, эти три стороны можно записать так:

A = a

B = a + b

C = a + 2b

Раз треугольник прямоугольный, то для сторон должна выполняться теорема Пифагора:

(a+2b) ^2 = (a+b) ^2 + a^2

(раскроем скобки и перегруппируем слагаемые)

(a-b) ^2 = 4 b^2

Получаем два варианта:

1) a - b = 2 b

a = 3 b

Тогда стороны:

A = 3b

B = 4b

C = 5b

(b>0)

2) a - b = - 2 b

a = - b

Тогда стороны:

A = - b

B = 0

C = b

Но длины сторон больше нуля, поэтому это решение уравнения не реализуется в треугольнике.

Ответ: Стороны прямоугольного треугольника могут образовывать арифметическую прогрессию при a = 3b. (Стороны 3b, 4b, 5b)