Докажите, что выражение 4 х^2+2y^2-4xy-4x+2y+2 принимает лишь положительные значения при любых значениях входящих в него переменных.

P. s. D (дискриминант, или что-то типа этого) не проходили.

Сгруппируем члены данного многочлена:

4 х²+2y²-4xy-4x+2y+2 = (4 х² - 4 ху + у²) + (у² + 2y + 1) + 1 = (2x - y) ² + (y + 1) ² + 1.

Слагаемое (2x - y) ² - неотрицательно при любых х и у; слагаемое (y + 1) ² - также неотрицательно при любых у. Поэтому при любых х и у сумма этих слагаемых неотрицательна.

Если к этой сумме прибавить 1, то общая сумма (т. е. исходный многочлен) при любых х и у становится положительным.

Доказано.

P. S. Заметьте, обошлись без дискриминанта))).