Существуют ли целые числа m и n, для которых верно равенство m^2+2018=n^2?

Нет, не существует. Доказательство

m^2-n^2=2010

(m-n) (m+n) = 2010

Если m и n обе четные или обе нечетные, то произведение слева делится на 4, а 2010 на 4 не делится.

Если m и n разной четности, то произведение слева нечетно, а 2010 делится на 2.

Других случаев нет. Доказано.