Доказать что если квадрат делится на простое число p, то он делится и на p^2

Не точное условие это однозначно. Здесь должно быть пропущено "точный" квадрат

Пусть x² - точный квадрат и делится на простое число p, тогда, исходя из теоремы (о простом делителе), если произведение xy делится на простое число р, то х или у делится на р.

x кратно р, x = py. Возведя в квадрат, получим x² = p²y² ⇒ x² кратно р². Ч. Т. Д.