Дан некоторый острый угол α=60∘

. На одной из его сторон отмечены точки A1

и A2

, на другой стороне отмечена точка B

.

Вершина угла - Н

. Известно, что HA1=2

, A1A2=8

. При какой величине отрезка HB

величина острого угла между прямыми A1B

и A2B

будет максимальна? Ответ введите с точностью до десятитысячных.

Ответ: 2*sqrt (5). Пояснение: Выразим косинус угла между прямыми BA1 и BA2, при помощи теоремы косинусов. Обозначим BA1=a, BA2=b, α=угол между BA1 и BA2,

тогда cos (α) = (a^2+b^2-64) / (2*a*b). После этого нужно выразить а и b через x. Для этого тоже воспользуемся теоремой косинусов (рассматривая треугольники BHA1 и BHA2 соответственно). Получим a^2=x^2-2*x+4, b^2 = x^2-10*x+100. Эти значения подставим в выражение для косинуса альфы. Теперь подумаем, когда угол между прямыми максимальный? ответ: когда косинус принимает минимальное значение.

Теперь у нас есть выражение для cos (α) зависящее только от x, и для получения ответа, нам нужно найти минимум этого выражения, то есть такой х, что выражение cos (α) минимально.