Найдите все натуральные числа N<10000 такие, что N=26*S (N), через S (N) обозначается сумма цифр числа N

Известно, что число и сумма цифр числа дают одинаковые остатки при делении на 9. N = 26 * S (N) = 27 * S (N) - S (N), поэтому N делится на 9. Добавляем к этому то, что N делится на 26 и находим, что N делится на 234.

Пусть N - k-значное число. Это значит, что N > = 10^ (k - 1), а S (N) < = 9k. Подставляем в равенство из условия:

10^ (k - 1) < = N = 26 * S (N) < = 234k

10^ (k - 1) < = 234k

Этому неравенству удовлетворяют только k = 1, 2 или 3; при k = 4 равенство неверно (1000 > 234 * 4), большие k тоже не подойдут: при увеличении k на 1 к левой части прибавляется не меньше 9000, к правой - 234.

Итак, могут подойти только 234, 2 * 234 = 468, 3 * 234 = 702 и 4 * 234 = 936. Проверяем:

N = 234: S (N) = 2 + 3 + 4 = 9. N = 26 * 9, подходит! N = 468: S (N) = 18. N = 26 * 18, подходит! N = 702: не подходит N = 936: не подходит

Ответ: 234, 468.