Найти кратчайшее расстояние от точки А (-1, 5) до параболы y^2=x

Пусть y (t) = t, x (t) = t^2. Тогда каждом конкретном t, (x (t); y (t)) - точка на параболе.

Расстояние между точками A (-1, 5) и (x (t), y (t)):

R (t) = sqr[ (x (t) + 1) ^2 + (y (t) - 5) ^2 ]

Подставим x (t) и y (t)

R (t) = sqr[ t^4 + 3 t^2 - 10 t + 16 ]

Кротчайшее расстояние - минимум функции R (t).

R' (t) = (4 t^3 + 6 t - 10) / sqr[ t^4 + 3 t^2 - 10 t + 16 ]

Решим уравнение R' (to) = 0:

4 to^3 + 6 to - 10 = 0

Видно, что to = 1 - решение уравнения

Тогда:

(4 to^2 + 4 to + 10) (to - 1) = 0

4 to^2 + 4 to + 10 = 0

D = 16 - 160 < 0

Значит только одна точка экстремума tо = 1

R' (t) < 0 при t
R' (t) > 0 при t>to

Значит в точке t=to - минимум функции R (t)

Значит кротчайшее расстояние:

R (to) = sqr[ to^4 + 3 to^2 - 10 to + 16 ] =

= sqr[ 1 + 3 - 10 + 16 ] = sqr (10)

Ответ: sqr (10)