Даны вершины треугольника АВС. Требуется найти:

а) косинус внутреннего угла при указанной вершине треугольника

б) площадь треугольника АВС

А (3, - 1, 2) В (-1, 2, 0) С (0, 4, 5), угол при С.

Подробный ответ.

Определяем длины сторон треугольника, а затем используем формулы косинуса угла С и формулу Герона для определения площади.

Расчет длин сторон

c АВ = √ ((Хв-Ха) ² + (Ув-Уа) ² + (Zв-Zа) ²) = √29 ≈ 5,385165,

a BC = √ ((Хc-Хв) ² + (Ус-Ув) ² + (Zс-Zв) ²) = √30 ≈ 5,477226,

b AC = √ ((Хc-Хa) ² + (Ус-Уa) ² + (Zс-Zа) ²) = √43 ≈ 6,557439.

cos C = (a² + b² - c²) / (2ab) = (30 + 43 - 29) / (2*√30*√43) = 0,61253.

S = √ (p (p - a) (p - b) (p - c)). Полупериметр р = 8,709914.

Подставив данные, получаем S = 14,195.

Можно использовать векторный способ.

→АВ = (-4; 3; - 2), →АС = (-3; 5; 3).

Найдем векторное произведение векторов:

c = a * b =

i j k

ax ay az

bx by bz

=

i j k

-4 3 - 2

-3 5 3

= i (3·3 - (-2) ·5) - j ((-4) ·3 - (-2) · (-3)) + k ((-4) ·5 - 3· (-3)) =

= i (9 + 10) - j (-12 - 6) + k (-20 + 9) = {19; 18; - 11}.

Найдем модуль вектора:

|c| = √ (cx² + cy² + cz²) = √ (19² + 18² + (-11) ²) = √ (361 + 324 + 121) = √806.

Найдем площадь треугольника: S = (1/2) √806 ≈ 14.195.