Дан правильный тетраэдр с ребром 10√6 найдите радиус вписанного в него шара

Высота правильного тетраэдра Н = а√2/√3 = 10√6*√2/√3 = 20.

Проекция апофемы на основание равна (1/3) h = (1/3) * (a√3/2) =

= (1/3) * (10√6*√3/2) = 5√2.

Тангенс угла α наклона боковой грани к основанию равен 20 / (5√2) = 4/√2 =

= 2√2.

Центр вписанного шара находится на биссектрисе этого угла.

То есть, надо найти тангенс половинного угла.

Используем универсальную подстановку, приняв тангенс половинного угла за t.

tg α = 2t / (1 - t²).

Выразим отсюда t через tg α.

Получаем квадратное уравнение tg α*t + 2t - tg α = 0.

Подставив tgα = 2√2, получим 2√2*t + 2t - 2√2 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно t:

Ищем дискриминант:

D=2^2-4*2*√2 * (-2*√2) = 4-4*2*√2 * (-2*√2) = 4-8*√2 * (-2*√t2) = 4 - (-8*√2*2*√2) = 4 - (-16*√2*√2) = 4 - (-16 * (√2) ^2) = 4 - (-16*2) = 4 - (-32) = 4+32=36;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

t_1 = (√36-2) / (2*2*√2) = (6-2) / (2*2*√2) = 4 / (2*2*√2) = 4 / (4*√2) = 4/4/√2 = 1/√2 ≈ 0.7071068;

t_2 = (-√36-2) / (2*2*√2) = (-6-2) / (2*2*√2) = - 8 / (2*2*√2) = - 8 / (4*√2) = - 8/4/√2=-2/2root2 ≈ - 1.4142136.

Принимаем положительное значение tg (α/2) = 1/√2.

Получаем ответ: R = 5√2 * (1/√2) = 5.