Теорема косинусов доказать

1) Для остроугольного треугольника.

Пусть AB = b, BC = a, AC = c.

Проведем высоту AD к стороне BC.

AD = b*sinB, BD = b*cosB,

CD = a - b*cosB.

По теореме Пифагора:

AC^2 = AD^2 + CD^2 = (bsinB) ^2 + (a - bcosB) ^2 = b^2sin^2 B + a^2 - 2abcosB + b^2cos^2 B = b^2 * (sin^2 B + cos^2 B) + a^2 - 2abcosB = a^2 + b^2 - 2abcosB, ч. т. д.

2) Для тупоугольного треугольника:

Пусть AC = a, AB = b, BC = c, угол BAC = a.

Проведем высоту BD к стороне AC, BD = h.

BD = b*sinBAD = b*sin (180° - a) = b*sina

AD = b*cosBAD = b*cos (180° - a) = - b*cosa

CD = a - b*cosa

По теореме Пифагора:

CD^2 + BD^2 = BC^2

BC^2 = b^2*sin^2 (a) + (a - b*cosa) ^2 = b^2*sin^2 (a) + a^2 - 2ab*cosa + b^2*cos^2 (a) = b^2 * (sin^2 (a) + cos^2 (a)) + a^2 - 2ab*cosa = a^2 + b^2 - 2ab*cosa, ч. т. д.