Можно ли выписать несколько раз подряд числа 2015 и 2016 так, чтобы полученное многозначное число было кратно и 2015, и 2016?

Нет, нельзя.

Полученное число может заканчиваться либо на 5, либо на 6 (последние цифры чисел 2015 и 2016).

Чтобы число делилось на 2015, нужно, чтобы оно делилось на 5, значит, оно должно оканчиваться на 5.

Но такое число не будет четным, а, значит, не будет делиться на 2016.