17 мая, 00:48

У бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма квадратов первых n членов равно сумме её первых 2n членов, а сумма кубов первых n членов в три раза меньше суммы первых 3n членов. Найти сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии.

+1
Ответы (1)
  1. 17 мая, 00:58
    0
    Из условия

    S=b1^2+b2^2+b3^2 + ... + b (n) ^2=S (2n)

    Или

    b1^2 (1+q^2+q^4 + ... + q^ (2n-2)) = b1 * (q^ (2n) - 1) / (q-1)

    Откуда

    b1^2 * (q^ (2n) - 1) / (q^2-1) = b1 * (q^ (2n) - 1) / (q-1)

    По второму условию

    3 (b1^3+b2^3+b3^3 + ... + b (n) ^3) = b1+b2+b3 + ... + b (3n)

    Или

    3b1^3 (1+q^3+q^6 + ... + q^ (3n-3)) = b1 (q^ (3n) - 1) / (q-1)

    Откуда

    3b1^3 * (q^ (3n) - 1) / (q^3-1) = b1 (q^ (3n) - 1) / (q-1)

    Система

    {b1^2 * (q^ (2n) - 1) / (q^2-1) = b1 * (q^ (2n) - 1) / (q-1)

    {3b1^3 * (q^ (3n) - 1) / (q^3-1) = b1 (q^ (3n) - 1) / (q-1)

    Так как |q|<1

    {b1^2=b1 (q+1)

    {3b1^3=b1 (q^2+q+1)

    {b1 (b1-q-1) = 0

    {b1 (3b1^2-q^2-q-1) = 0

    {b1=q+1

    {3b1^2=q^2+q+1

    3 (q^2+2q+1) = q^2+q+1

    2q^2+5q+2=0

    q = (-5+3) / 4 = - 1/2 >-1

    b1=-1/2+1 = 1/2

    Сумма

    S = (1/2) / (1 + (1/2)) = 1/3
Знаешь ответ?
Не уверен в ответе?
Найди верный ответ на вопрос ✅ «У бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма квадратов первых n членов равно сумме её первых 2n членов, а сумма кубов первых n ...» по предмету 📙 Математика, а если ответа нет или никто не дал верного ответа, то воспользуйся поиском и попробуй найти ответ среди похожих вопросов.
Искать другие ответы