Какой остаток от деления числа 2018^ (8012) на 312

2018⁸⁰¹² ≡ 146⁸⁰¹² (mod 312)

(146²) ⁴⁰⁰⁶ ≡ 100⁴⁰⁰⁶ ≡ 10000²⁰⁰³ ≡ 16²⁰⁰³ ≡ 16³ * 16²⁰⁰⁰ ≡ 16³ * (16⁴) ⁵⁰⁰ ≡

≡ 16³ * 16⁵⁰⁰ ≡ 16³ * (16⁴) ¹²⁵ ≡ 16³ * 16¹²⁵ ≡ 16¹²⁸ ≡ (((16⁴) ⁴) ⁴) ² ≡ 16² ≡ 256 (mod 312)

Ответ: 256

10 ≡ 1 (mod 3) - данная запись означает, что 10 дает такой же остаток как 1 при делении на 3

читается как 10 сравнимо с 1 по модулю 3

Остаток от деления 2018 на 312 равен 146. Поэтому

2018^8012 (=) 146^8012 = (146^2) ^4006 = 21316^4006

Здесь и далее знак (=) означает "имеет такой же остаток".

Остаток от деления 21316 на 312 равен 100. Поэтому

21316^4006 (=) 100^4006 = 10000^2003

Остаток от деления 10000 на 312 равен 16. Поэтому

10000^2003 (=) 16^2003 = 16^3*16^2000 = 4096*65536^500

Остаток от деления 4096 на 312 равен 40, а от 65536 опять 16.

4096*65536^500 (=) 40*16^500 = 40*65536^125 (=) 40*16^125 = 40*16*16^124 = 640*65536^31

Остаток от деления 640 на 312, как ни странно, тоже равен 16.

640*65536^31 (=) 16*16^31 = 16^32 = 65536^8 (=) 16^8 = 65536^2 (=) 16^2 = 256

Ответ 256