В стране Мульти-Пульти выпущены банкноты номиналом 43 сантика. Малыш и Карлсон, имея только эти банкноты, зашли в кафе.

Карлсон заказал

5 стаканов газированой воды

и 16 пироженых и заплатил за них без сдачи

Малыш заказал 3 стакана газированой воды и 1 пироженое

докажите что сколько бы не стоила вода и пироженые Малыш тоже может расчитаться без сдачи.

Пусть один стакан газированной воды стоит m, а одно пироженое n

Тогда сумма чека Карлсона:

(5m+16n) и по условию она делится на 43

Тогда умножим её на 3, и

3 (5m+16n) тоже делится на 43

С другой стороны:

3 (5m+16n) = 15m+48n=

=5 (3m+n) + 43n делится на 43

второе слагаемое делится на 43, и

так как 5 и 43 взаимно простые числа, то на 43

должен делиться второй множитель первого слагаемого, то есть

(3m+n), а это и есть та сумма, которую заплатил Малыш. Следовательно, и он может вполне рассчитаться без сдачи