Найдите наименьшее нечетное натуральное число n, при котором сумма 1+2+3 + ... + n делиться на 81. желательно с объяснением решения.

1+2+3 + ... + n=½n (n+1)

Очевидно, что при n=80

½n (n+1) = ½*81*80 делится на 81

И если есть n <80,

тогда ½ n (n+1)

делится на 81=9² = 3⁴

или n (n+1) делится на 162 = 2*3⁴

162 = 2*3*3*3*3

разбить можно на два множителя следующим образом:

2 и 3⁴=81

3 и 2*3³=54

2*3 и 3³=27

9=3*3 и 2*3²=18

как видим, все эти множители не отличаются на 1, посему при n<80 сумма не будет кратна 81

Ответ при n=80

1 + 2 + 3 + ... + n = n (n+1) / 2 делится на 81

очевидно, что n и n+1 одновременно не могут делится на 3, значит, одно из чисел делится на 81 (81 = 3⁴), чтобы было наименьшее число, то

n + 1 = 81

n = 80

Ответ: 80